[수학] 점과 직선, 원의 공식

두점의 기울기 공식

 = P1( x1, y1 ), P2( x2, y2) 일때,   기울기 m = ( y2 - y1 ) / ( x2 - x1 )

 

직선의 방정식에서의 기울기

 = Ax + By = C 일때,                    기울기 m = -A / B

 

서로 직교하는 직선의 기울기 

  = 서로 직교하는 기울기 m1, m2는 m1 * m2 = 1 과 m1 = -1/m2  와 m2 = -1 / m1 을 만족 시킨다.

 

직선의 방정식의 공식

  = 기울기 - 절편 공식 : 기울기 m, y절편 b 일때      y = mx + b

  = 점 -  기울기 공식   : 점(x1, y1), 기울기 m 일때   (y - y1 ) = m( x - x1 ),  y = m( x - x1 ) - y1

 

직선의 충돌 여부검사

 = 두직선의 기울기가 다르면 충돌점 1개 유효

 = 두직선의 기울기가 같고 y절편도 같으면 두직선 일치( 무수한 충돌점 )

 = 두직선의 기울기가 같고 y절편이 다르면 두직선 평행( 충돌점 없음 )

 

직선의 충돌(교차)점 구하기

 = 선형결합법

 = 치환법

    직선 1 : (y - y1 ) = m1( x - x1 ) -> y =  m1( x - x1 ) + y1    직선 2 : (y - y2 ) = m2( x - x2 ) -> y =  m2( x - x1 ) + y2

    y를 치환하면 m1( x - x1 ) + y1 = m2( x - x1 ) + y2

    x로 정리하면 x = ( m1x1 - m2x2 + y2 - y1 ) / ( m1 - m2 )

    위 공식으로 x 값을 구할수 있고 나온 x값으로 y값을 구할수 있다.

    위 계산에 따라 나온 (x, y)는 직선 1과 직선 2의 교차점이다.

 

피타고라스 정리 

 = 직각삼감각형의 빗변의 길이의 제곱은 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다. ( A² + B² = C²  )

 

두점사이의 길이

 = P1( x1, y1 ), P2( x2, y2 ) 일때,                               루트( ( x2 - x1 )² + ( y2 - y1 )² )

 = 3차원상의 점 P1( x1, y1, z1 ), P2( x2, y2, z2 ) 일때,  루트( ( x2 - x1 )² + ( y2 - y1 )² + ( z2 - z1 )² )

 

포물선 방정식

 = 수직축 : 대칭축 x = h, 꼭지점( h, k ) 일때,   y = a( x - h )² + k

 = 수평축 : 대칭축 y = k, 꼭지점( h, k ) 일때,   x = a( y - k )² + h

 = a는 포물선 사이의 벌어짐 정도이다.

 

원의 방정식

 = 중점( h, k ), 반지름 r 일때,    ( x - h )² + ( y - k )² = r² 

 = 중점이 원점, 반지름 r 일때,    x² + y² = r² 

 

구의 방정식

 = 중점( h, k, l ), 반지름 r 일때,   ( x - h )² + ( y - k )² + ( z - l )² = r² 

 = 중점이 원점, 반지름 r 일때,      x² + y² + z² = r² 

 

원과 원의 충돌 검출

 = 원1의 중점 ( h1, k1 ), 반지름 r1, 원2의 중점 ( h2, k2 ), 반지름 r2 일때

    ( r1 + r2 ) <= 루트( (h2 - h1)² + (k2 - k1)² ) ) 이면 두 원은 충돌!!

 

원과 원의 충돌 검출 ( 최적화  - 제곱근 연산 제거 )

    ( r1 + r2 )² <= ( (h2 - h1)² + (k2 - k1)² ) 이면 두 원은 충돌!!

 

구와 구의 충돌 검출 ( 최적화 )

 = 원1의 중점 ( h1, k1, l1 ), 반지름 r1, 원2의 중점 ( h2, k2, l2 ), 반지름 r2 일때

    ( r1 + r2 )² <= ( (h2 - h1)² + (k2 - k1)² + (l2 - l1)² ) 이면 두구는 충돌!!

 

[출처] 수학기초 : 점과 직선, 원의 공식 |작성자 카미너스